Potencias. Crecimiento exponencial.
Voy a partir de la base de la nada descabellada suposición que consiste en asumir que todos los aquí presentes sabemos multiplicar. Multiplicar no es una tarea complicada en absoluto. Tediosa, quizá, sobre todo si las cantidades a multiplicar son grandes, pero el procedimiento que empleamos es siempre el mismo: a mano o a máquina, como lavar la ropa.
Nadie se atrevería a decir que el saber multiplicar es un conocimiento inútil para nuestra vida cotidiana. Si queremos comprar dos kilos de naranjas, el kilo está a dos euros y sólo llevamos tres, inmediatamente sabemos que no podremos llevarnos a casa los dos kilos que queríamos. Tendremos que conformarnos, como mucho, con un kilo y medio. Si vas a invitar a cenar a tu novio en un "Pizza Hut" y sabes que cuando vas sola sueles gastar 15 euros, asumes que la cena te costará sobre los 30 euros (15 x 2 = 30). No es barato, pero no estamos hablando ahora de problemas sociales, sino de multiplicaciones.
La multiplicación representa una "sucesión" de sumas, me explico: cuando escribimos 4 x 7, sabemos que lo que estamos haciendo en realidad es sumar el 4 consigo mismo, 7 veces (o el 7, 4 veces). Es decir: 4 x 7 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ; 7 x 4 = 7 + 7 + 7 + 7. En lugar de escribir 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, escribimos 4 x 7, que es mucho más corto. El resultado es el mismo, y en el colegio nos enseñan a operar con multiplicaciones de forma que no tengamos que realizar todas las sumas, algo que es bastante útil cuando te encuentras con multiplicaciones como 123 x 456. Da escalofríos sólo pensar en la de tiempo que pasaríamos escribiendo todos los sumandos.
La multiplicación no es la única operación que nace como abreviatura de otra más sencilla. Tenemos el caso que ocupa esta entrada: las potencias.
Al igual que podemos querer sumar repetidas veces el mismo número, también podemos querer multiplicar repetidas veces el mismo número. Por ejemplo, hacer la operación 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4. Es decir, multiplicar 4 por sí mismo, apareciendo un total de seis veces como factor. La notación de potencia es, como la multiplicación a la suma, una manera de abreviar multiplicaciones. Así, este 4 multiplicado por sí mismo 6 veces, como potencia, se escribiría 46. Un 4 en la base, y un 6 chiquitillo arriba, que indica la cantidad de veces que hay que multiplicar el 4 (base) por sí mismo: 6 (exponente).
Es cierto: en la vida cotidiana no es tan frecuente necesitar potencias como necesitar multiplicaciones. A veces las realizamos, pero no nos damos cuentas, porque suelen ser de exponente 2, y como un número elevado a 2 es ese número multiplicado por sí mismo, no solemos verlo como lo que es, una potencia, y por ello no las tenemos incorporadas en nuestra rutina mental, por decirlo de alguna manera.
Quizá, por ese motivo, hay un tipo de estafa llamada piramidal, cuyas variantes se basan siempre en el mismo esquema: como el ciudadano promedio no está acostumbrado a pensar en potencias, se aprovechan de su codicia ya que no puede plantearse cuán rápido crecen los resultados de una potencia a medida que el exponente se hace mayor.
No es la primera vez que escribo aquí sobre esto, en los siguientes enlaces podeis encontrar otras dos entradas donde traté el asunto de los timos piramidales:
A riesgo de ser pesada, vuelvo a tratar el tema, tras leer esta noticia: Alertan de la instalación en Barcelona de una red organizada para ganar dinero rápido. Lo sé, la noticia es de mediados de noviembre del año pasado, pero como no me preocupa en absoluto lo de estar a la última, lo comento ahora, que es cuando me apetece y he encontrado un ratito.
De las dos entradas que he reseñado, debería quedar claro que el "truco" de los timos piramidales se basa en lo rápido que crecen los números según se multiplican por sí mismos, y en lo poco que se fijan en este detalle los que "pican". Así que vamos a hacer unas poquitas cuentas, una vez más. Es por una buena causa: que no nos timen.
Comparemos con el crecimiento de las multiplicaciones:
Estamos viendo números, pero no sabemos muy bien por qué, ¿sí? La intención de mostrar los resultados de ambas operaciones con los mismos factores es para poder comparar la tasa de crecimiento. ¿Quién crece más deprisa, la multiplicación, o la potencia? Parece ser que la potencia, pero sólo con estos números no podemos hacernos una idea muy precisa de "cuanto más deprisa".
Como en ocasiones una imagen vale más que mil palabras, vamos a representar las dos funciones que surgen de forma natural de estas operaciones. Os presento a f(x) = 2*x, y a g(x) = 2x. Como la variable se llama "x", he cambiado la notación del producto por *. Así, este 2*x quiere decir "2 por equis".
(Gráfica obtenida con un estupendo programita que funciona online con tan solo activar el Javascript del navegador: Function Grapher Online)
¿Aún no vemos claro que las potencias crecen mucho más deprisa que las multiplicaciones? Bueno, pues vamos a avanzar un poco más haciendo cuentas:
Comparemos, una vez más, con las correspondientes multiplicaciones:
De nuevo, una gráfica vale más que mil palabras, así que veamos cómo quedan nuestras funciones según aumenta el valor de x, ampliando hasta x = 20.
La pobre f(x) = 2*x no parece crecer. El programa ha tenido que reajustar las escalas para el nuevo rango, y claro, donde antes había una altura de mil puntos, ahora es de un millón. Hemos visto que para x = 20, 2x = 220 = 1.048.576, mientras que 2*x = 2*20 = 40. El primer número es algo más de 26.000 veces el segundo (¡divide!). Así que f(x) crece, pero muy poquito, en realidad. Parece ser, pues, que si multiplicamos crecemos más "despacito" que si hacemos potencias. Hablemos un poquito de esos crecimientos.
La tasa de crecimiento de f(x) = 2*x se dice que es lineal. ¿Qué quiere decir "lineal"? Pues significa que los puntos de la función se alinean en una recta y, por tanto, crecen todo lo deprisa que la inclinación de esa recta les permite crecer.
La tasa de crecimiento de g(x) = 2x se dice que es exponencial. ¿Qué quiere decir "exponencial"? En lenguaje de calle: que la función crece "a toda leche", pues cada valor se obtiene de multiplicar el anterior.
Con todo esto, ya llegamos a la noticia que he enlazado antes. Cito:
Volvamos a plantearnos una pregunta que ya hice, y no perdamos de vista lo rápido que crece la función exponencial:
Repasemos este caso particular:
Tienes que aportar 10.000 euros y 2 personas que, a su vez, han de aportar otros 10.000 euros, o no te lo cuentan. Pasamos por un total de 3 colores: amarillo, cuando traes a los primeros dos que ponen 10.000; verde, cuando estos dos consiguen a sus correspondientes dos y, finalmente, azul, cuando cada nuevo "dos" se trae a sus correspondientes dos.
Es decir: tú traes a 2 personas y tienes el amarillo.
Estas dos personas traen a otras dos: 2 x 2 = 4, y tienes el verde
Esas cuatro deben traer a otras dos: (2 x 2) x 2 = 4 x 2 = 8, y tienes el azul
Bueno, se han quedado en un escalón muy bajo, sólo el 3. Aparentemente, no será difícil conseguir a 8 personas. Sin embargo, es de esperar que estas 8 personas no entren ahí a regalar dinero, sino que también querrán su parte: cada una de las 8, va a necesitar 8. Es decir, 8 x 8 = 64. Lógicamente, esas 64 no estarán dispuestas a perder sus 10.000, por lo que cada una de las 64 necesitará a otras 64: 64 x 64 = 4.096. Y estas 4.096, a su vez... No hace falta que siga, ¿verdad? La pirámide nunca termina: alguien está perdiendo dinero. De hecho, MUCHA gente está perdiendo dinero, porque sólo los que están en el escalón 1 de la jerarquía pueden llegar a ganar algo, pero tan pronto descendemos, resulta que necesitaremos a miles de personas que den su dinero para nosotros.
Vamos a detallarlo.
Imagina que eres el primero que entra. No hay nadie que te haya llevado hasta ahí. Entonces solo necesitas a ocho personas. Pero esto será bastante poco probable. Vamos a suponer que te ha convencido el primero que ha entrado. Eso significa que te ha convencido a ti, y a otro. Tú necesitas a ocho personas, pero ya sois dos los que habeis puesto dinero y no quereis perderlo. Entre los dos, necesitaréis a 16 personas en total.
De todas formas, este caso también es poco probable. Quizá te haya llevado hasta ahí el que fue llevado por el primero. Es decir, tú eres uno de los cuatro que le hacen llegar a "verde". Tú necesitas a ocho personas... y tres personas más necesitan a otras ocho. Es decir, necesitais a 32 personas para que la pirámide no se rompa.
Sin embargo, podría ser que te haya llevado allí uno de esos cuatro anteriores, es decir, que contigo, el primero ya tuviera sus ocho personas, y tú, junto con otras siete, necesiteis ocho cada una, lo que implica que necesitais en total a 64 personas para que la pirámide no se rompa, ¡y eso solo para que el primero que entró pueda llevarse los 80.000 euros!
¿No os recuerda esta secuencia (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...) a la que hemos visto al hablar de las potencias de 2? Y teniendo en cuenta un detalle muy importante, que es que la población mundial es finita (es decir, por grande que sea, llega un momento en que se acaba), deberíamos sospechar que llegará un momento (pronto) en el que mucha gente se quedará colgada, habiendo perdido 10.000 euros. Pensad que sólo con 20 niveles ya estamos tratando con más de un millón de personas, y la cantidad se duplica en cada escalón. Si no me han fallado las cuentas, 33 escalones, y hará falta más gente de la que hay en el planeta. Echad cuentas.
Todas son iguales. Nos las podrán adornar como "marketing multinivel", "sistema novedoso", "para emprendedores", "solidario", y todas las patrañas que se os ocurran, pero siempre es lo mismo: una pirámide. Y cuando veas una pirámide, acuérdate de tus amigas: las funciones exponenciales. Ellas te recordarán que te están intentando tomar el pelo.
(*) Nota: Por claridad, en esta entrada he obviado unas sumas que sí hice en la ocasión anterior. En realidad, si entraras el primero, no necesitarías a 8 personas, sino a la suma de todos los niveles, es decir, 8 + 4 + 2 = 14 personas. Lo mismo se aplica para el resto.
Nadie se atrevería a decir que el saber multiplicar es un conocimiento inútil para nuestra vida cotidiana. Si queremos comprar dos kilos de naranjas, el kilo está a dos euros y sólo llevamos tres, inmediatamente sabemos que no podremos llevarnos a casa los dos kilos que queríamos. Tendremos que conformarnos, como mucho, con un kilo y medio. Si vas a invitar a cenar a tu novio en un "Pizza Hut" y sabes que cuando vas sola sueles gastar 15 euros, asumes que la cena te costará sobre los 30 euros (15 x 2 = 30). No es barato, pero no estamos hablando ahora de problemas sociales, sino de multiplicaciones.
La multiplicación representa una "sucesión" de sumas, me explico: cuando escribimos 4 x 7, sabemos que lo que estamos haciendo en realidad es sumar el 4 consigo mismo, 7 veces (o el 7, 4 veces). Es decir: 4 x 7 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ; 7 x 4 = 7 + 7 + 7 + 7. En lugar de escribir 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, escribimos 4 x 7, que es mucho más corto. El resultado es el mismo, y en el colegio nos enseñan a operar con multiplicaciones de forma que no tengamos que realizar todas las sumas, algo que es bastante útil cuando te encuentras con multiplicaciones como 123 x 456. Da escalofríos sólo pensar en la de tiempo que pasaríamos escribiendo todos los sumandos.
La multiplicación no es la única operación que nace como abreviatura de otra más sencilla. Tenemos el caso que ocupa esta entrada: las potencias.
Al igual que podemos querer sumar repetidas veces el mismo número, también podemos querer multiplicar repetidas veces el mismo número. Por ejemplo, hacer la operación 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4. Es decir, multiplicar 4 por sí mismo, apareciendo un total de seis veces como factor. La notación de potencia es, como la multiplicación a la suma, una manera de abreviar multiplicaciones. Así, este 4 multiplicado por sí mismo 6 veces, como potencia, se escribiría 46. Un 4 en la base, y un 6 chiquitillo arriba, que indica la cantidad de veces que hay que multiplicar el 4 (base) por sí mismo: 6 (exponente).
Es cierto: en la vida cotidiana no es tan frecuente necesitar potencias como necesitar multiplicaciones. A veces las realizamos, pero no nos damos cuentas, porque suelen ser de exponente 2, y como un número elevado a 2 es ese número multiplicado por sí mismo, no solemos verlo como lo que es, una potencia, y por ello no las tenemos incorporadas en nuestra rutina mental, por decirlo de alguna manera.
Quizá, por ese motivo, hay un tipo de estafa llamada piramidal, cuyas variantes se basan siempre en el mismo esquema: como el ciudadano promedio no está acostumbrado a pensar en potencias, se aprovechan de su codicia ya que no puede plantearse cuán rápido crecen los resultados de una potencia a medida que el exponente se hace mayor.
No es la primera vez que escribo aquí sobre esto, en los siguientes enlaces podeis encontrar otras dos entradas donde traté el asunto de los timos piramidales:
A riesgo de ser pesada, vuelvo a tratar el tema, tras leer esta noticia: Alertan de la instalación en Barcelona de una red organizada para ganar dinero rápido. Lo sé, la noticia es de mediados de noviembre del año pasado, pero como no me preocupa en absoluto lo de estar a la última, lo comento ahora, que es cuando me apetece y he encontrado un ratito.
De las dos entradas que he reseñado, debería quedar claro que el "truco" de los timos piramidales se basa en lo rápido que crecen los números según se multiplican por sí mismos, y en lo poco que se fijan en este detalle los que "pican". Así que vamos a hacer unas poquitas cuentas, una vez más. Es por una buena causa: que no nos timen.
21 = 2
22 = 2 x 2 = 4
23 = 2 x 2 x 2 = 8
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024
Comparemos con el crecimiento de las multiplicaciones:
2 x 1 = 2
2 x 2 = 2 + 2 = 4
2 x 3 = 2 + 2 + 2 = 6
2 x 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
2 x 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12
2 x 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14
2 x 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16
2 x 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18
2 x 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20
Estamos viendo números, pero no sabemos muy bien por qué, ¿sí? La intención de mostrar los resultados de ambas operaciones con los mismos factores es para poder comparar la tasa de crecimiento. ¿Quién crece más deprisa, la multiplicación, o la potencia? Parece ser que la potencia, pero sólo con estos números no podemos hacernos una idea muy precisa de "cuanto más deprisa".
Como en ocasiones una imagen vale más que mil palabras, vamos a representar las dos funciones que surgen de forma natural de estas operaciones. Os presento a f(x) = 2*x, y a g(x) = 2x. Como la variable se llama "x", he cambiado la notación del producto por *. Así, este 2*x quiere decir "2 por equis".
(Gráfica obtenida con un estupendo programita que funciona online con tan solo activar el Javascript del navegador: Function Grapher Online)
¿Aún no vemos claro que las potencias crecen mucho más deprisa que las multiplicaciones? Bueno, pues vamos a avanzar un poco más haciendo cuentas:
211 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2.048
212 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 4.096
213 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 8.192
214 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 16.384
215 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.768
216 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 65.536
217 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 131.072
218 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 262.144
219 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 524.288
220 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.048.576
Comparemos, una vez más, con las correspondientes multiplicaciones:
2 x 11 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 22
2 x 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 24
2 x 13 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 26
2 x 14 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 28
2 x 15 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 30
2 x 16 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 32
2 x 17 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 34
2 x 18 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 36
2 x 19 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 38
2 x 20 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 40
De nuevo, una gráfica vale más que mil palabras, así que veamos cómo quedan nuestras funciones según aumenta el valor de x, ampliando hasta x = 20.
La pobre f(x) = 2*x no parece crecer. El programa ha tenido que reajustar las escalas para el nuevo rango, y claro, donde antes había una altura de mil puntos, ahora es de un millón. Hemos visto que para x = 20, 2x = 220 = 1.048.576, mientras que 2*x = 2*20 = 40. El primer número es algo más de 26.000 veces el segundo (¡divide!). Así que f(x) crece, pero muy poquito, en realidad. Parece ser, pues, que si multiplicamos crecemos más "despacito" que si hacemos potencias. Hablemos un poquito de esos crecimientos.
La tasa de crecimiento de f(x) = 2*x se dice que es lineal. ¿Qué quiere decir "lineal"? Pues significa que los puntos de la función se alinean en una recta y, por tanto, crecen todo lo deprisa que la inclinación de esa recta les permite crecer.
La tasa de crecimiento de g(x) = 2x se dice que es exponencial. ¿Qué quiere decir "exponencial"? En lenguaje de calle: que la función crece "a toda leche", pues cada valor se obtiene de multiplicar el anterior.
Con todo esto, ya llegamos a la noticia que he enlazado antes. Cito:
El funcionamiento de este sistema empieza en unas reuniones de captación de nuevos miembros. Para entrar en el círculo, los candidatos tienen que aportar 10.000 euros para acabar saliendo con 80.000, según les prometen los que ya están dentro. Para conseguirlo, deben introducir a dos personas más en la célula con sus 10.000 euros correspondientes. La bola está formada por ocho colores rojos periféricos, integrados por ocho candidatos que ingresan con sus 10.000 euros. Cuando uno de estos noveles consigue a sus dos candidatos, se convierte en color amarillo. Pasa a ser verde cuando sus dos candidatos consiguen a dos más, y, finalmente, adquiere el color azul cuando estos nuevos cuatro candidatos logran traer cada uno de ellos a dos miembros. Es entonces cuando recibe los 80.000 euros, regalados por los últimos participantes, y sale del círculo.
Volvamos a plantearnos una pregunta que ya hice, y no perdamos de vista lo rápido que crece la función exponencial:
¿Alguna vez se ha preguntado alguien de los que cae en este engaño, en qué nivel está?
Repasemos este caso particular:
Tienes que aportar 10.000 euros y 2 personas que, a su vez, han de aportar otros 10.000 euros, o no te lo cuentan. Pasamos por un total de 3 colores: amarillo, cuando traes a los primeros dos que ponen 10.000; verde, cuando estos dos consiguen a sus correspondientes dos y, finalmente, azul, cuando cada nuevo "dos" se trae a sus correspondientes dos.
Es decir: tú traes a 2 personas y tienes el amarillo.
Estas dos personas traen a otras dos: 2 x 2 = 4, y tienes el verde
Esas cuatro deben traer a otras dos: (2 x 2) x 2 = 4 x 2 = 8, y tienes el azul
Bueno, se han quedado en un escalón muy bajo, sólo el 3. Aparentemente, no será difícil conseguir a 8 personas. Sin embargo, es de esperar que estas 8 personas no entren ahí a regalar dinero, sino que también querrán su parte: cada una de las 8, va a necesitar 8. Es decir, 8 x 8 = 64. Lógicamente, esas 64 no estarán dispuestas a perder sus 10.000, por lo que cada una de las 64 necesitará a otras 64: 64 x 64 = 4.096. Y estas 4.096, a su vez... No hace falta que siga, ¿verdad? La pirámide nunca termina: alguien está perdiendo dinero. De hecho, MUCHA gente está perdiendo dinero, porque sólo los que están en el escalón 1 de la jerarquía pueden llegar a ganar algo, pero tan pronto descendemos, resulta que necesitaremos a miles de personas que den su dinero para nosotros.
Vamos a detallarlo.
Imagina que eres el primero que entra. No hay nadie que te haya llevado hasta ahí. Entonces solo necesitas a ocho personas. Pero esto será bastante poco probable. Vamos a suponer que te ha convencido el primero que ha entrado. Eso significa que te ha convencido a ti, y a otro. Tú necesitas a ocho personas, pero ya sois dos los que habeis puesto dinero y no quereis perderlo. Entre los dos, necesitaréis a 16 personas en total.
De todas formas, este caso también es poco probable. Quizá te haya llevado hasta ahí el que fue llevado por el primero. Es decir, tú eres uno de los cuatro que le hacen llegar a "verde". Tú necesitas a ocho personas... y tres personas más necesitan a otras ocho. Es decir, necesitais a 32 personas para que la pirámide no se rompa.
Sin embargo, podría ser que te haya llevado allí uno de esos cuatro anteriores, es decir, que contigo, el primero ya tuviera sus ocho personas, y tú, junto con otras siete, necesiteis ocho cada una, lo que implica que necesitais en total a 64 personas para que la pirámide no se rompa, ¡y eso solo para que el primero que entró pueda llevarse los 80.000 euros!
¿No os recuerda esta secuencia (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...) a la que hemos visto al hablar de las potencias de 2? Y teniendo en cuenta un detalle muy importante, que es que la población mundial es finita (es decir, por grande que sea, llega un momento en que se acaba), deberíamos sospechar que llegará un momento (pronto) en el que mucha gente se quedará colgada, habiendo perdido 10.000 euros. Pensad que sólo con 20 niveles ya estamos tratando con más de un millón de personas, y la cantidad se duplica en cada escalón. Si no me han fallado las cuentas, 33 escalones, y hará falta más gente de la que hay en el planeta. Echad cuentas.
Todas son iguales. Nos las podrán adornar como "marketing multinivel", "sistema novedoso", "para emprendedores", "solidario", y todas las patrañas que se os ocurran, pero siempre es lo mismo: una pirámide. Y cuando veas una pirámide, acuérdate de tus amigas: las funciones exponenciales. Ellas te recordarán que te están intentando tomar el pelo.
(*) Nota: Por claridad, en esta entrada he obviado unas sumas que sí hice en la ocasión anterior. En realidad, si entraras el primero, no necesitarías a 8 personas, sino a la suma de todos los niveles, es decir, 8 + 4 + 2 = 14 personas. Lo mismo se aplica para el resto.
Etiquetas: esquemas piramidales, Matemáticas
Escrito por Lola con fecha y hora
1/09/2008 10:00:00 PM
enlaces a esta entrada
14 Comentarios:
Gracias Lola, estoy "enganchado" a tu blog. Y desde luego, nunca son demasiados los articulos que denuncian estos timos.
Cuando lo he leido me he imaginado una clase de matematicas, sería una buena forma de motivar a los jovenes que todavía no creen en la utilidad práctica de las matemáticas..
Un Saludo.. Y no pares de escribir :-)
Por
Mercurial, el jueves, enero 10, 2008 9:29:00 AM
Toma, pues como la Seguridad Social. Así que tengo razón cuando me río y digo que nadie de mi generación va a recibir paga de jubilación... Mientras la pirámide demográfica era eso una pirámide estaba guay. Ahora que parece una botella de cocacola ya verás que risa.
Saludos
Sentoki
Por
sentoki, el jueves, enero 10, 2008 4:46:00 PM
Me recuerda a la linda progresión 2^n de aquellos anuncios de casinos. Esos que te decían que empleando la martingala no se puede perder...
Por
Macías P., el jueves, enero 10, 2008 4:48:00 PM
Hola Lola. Me ha gustado lo de decir que el producto es unas cuantas sumas y la potencia, unos cuantos productos. Mola porque podemos seguir haciendo lo mismo para inventarnos operaciones nuevas.
2 @ 4 = 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2
3 $ 6 = 3 @ 3 @ 3 @ 3 @ 3 @ 3
8 ¬ 5 = 8 $ 8 $ 8 $ 8 $ 8
Y todo se puede reducir siempre a sumas. Eso sí, listas cada vez más largas de sumas. ¿pero cuánto más largas? ¿hay más diferencia entre * y ^ que entre + y *? Yo diría que sí pero no sabría cuantificarlo. ¿En qué orden estaría la función que define la diferencia entre cada par de órdenes consecutivos?
Por
jose, el jueves, enero 10, 2008 8:42:00 PM
Hola a todos!
En primer lugar, felicitar a Lola por este blog, los posts son siempre muy interesantes
Sobre el comentario de las exponenciales de exponenciales de exponenciales... me ha recordado un articulo muy curioso en el que se habla, entre otras cosas, de la sucesión de Ackermann
Who Can Name the Bigger Number?
Saludos!
David
Por
David, el viernes, enero 11, 2008 9:57:00 AM
Macías, y los pisos nunca bajan ;-)
David, tu comentario ha llegado mientras tenía a medio escribir el mogollón que se va a ver a continuación. Y sí, je, lo cierto es que tras la pregunta de Jose no pude evitar acordarme de esa función, porque en cierto modo, esas continuas composiciones nos acaban llevando a monstruos como esa función, en apariencia, tan inocente. A(8,0), ¿no te da escalofríos imaginar cuan grande es ese numerico? :-)
Jose, efectivamente, puedes inventarte cuantas operaciones quieras partiendo siempre de las que tengas definidas previamente. No es la única forma de definir operaciones. A modo de ejemplo, podemos inventarnos la operación "absorción 13", escoger para ella el símbolo ?, y definirla como sigue:
x ? 13 = 13
Lo leeríamos como "equis absorción trece igual a trece". Puede parecer una operación un poco tonta, ya que le pongas lo que le pongas a la x, siempre te va a dar como resultado 13. Las funciones constantes, que se representan como rectas horizontales, serían las correspondientes a este nombre "bobo" de "absorción" que me acabo de inventar.
Pero volvamos a lo que dices: efectivamente, se pueden crear todas las operaciones que dices, a partir de las anteriores. En matemáticas no te quedas sólo con la definición del operador (+, * , ^, @, $, ¬, ...), sino que te pondrías a estudiar sus propiedades (¿es conmutativo? ¿distributivo con respecto a otro operador? ¿tiene elemento neutro? ...). En el momento en el que generalizaras esa operación, en principio, entre números naturales, al que sería su rango completo, podrías estudiar la continuidad de la función, derivabilidad, y ya podrías representar su gráfica de forma completa para compararla "visualmente" con las gráficas de las "operaciones precedentes".
Obviamente, "a ojo de buen cubero" no es un método muy riguroso, pero siempre sirve para darnos una primera idea.
La "lista de sumas" puedes hacerla tan larga como quieras. Antes te quedarás sin símbolos que sin posibilidades de crear nuevas composiciones de "listas de sumas". Depende de la utilidad que se encuentre a estas nuevas operaciones el que se estudien y se progrese en ellas, aunque siempre habrá algún matemático que las estudie "porque sí", y quizá acabe viendo que tienen propiedades interesantes, o que no vale la pena seguir por ese camino.
Respecto a lo que dices de "¿hay más diferencia entre * y ^ que entre + y *?", entiendo que te refieres a comparar el crecimiento entre ellas.
"¿En qué orden estaría la función que define la diferencia entre cada par de órdenes consecutivos?"
Los órdenes se definen, precisamente, a partir de estas operaciones. Voy a intentar explicarme un poco, porque el tema sería más largo. De hecho, haciendo el repaso de mi respuesta previo a publicar veo que, efectivamente, me ha quedado largo. Y eso que es una simple introducción, un "para entender un poco de qué hablamos".
La suma nos define un crecimiento "constante". Si tomamos, por ejemplo, la función f(x) = x + 11, vamos a examinar algunos valores:
f(2) = 2 + 11 = 13
f(3) = 3 + 11 = 14
f(4) = 4 + 11 = 15
f(5) = 5 + 11 = 16
f(6) = 6 + 11 = 17
y vamos a ver las diferencias:
f(3) - f(2) = 14 - 13 = 1
f(4) - f(3) = 15 - 14 = 1
f(5) - f(4) = 16 - 15 = 1
f(6) - f(4) = 17 - 16 = 1
En general, dado x y x + 1, si calculas la diferencia f(x + 1) - f(x), obtienes:
f(x + 1) - f(x) = (x + 1) + 11 - (x + 11) = x + 12 - x - 11 = 1
Tienes una tasa de crecimiento constante, 1. Y esto no es exclusivo de f(x) = x + 11. Cambia 11 por la constante C que más te guste. Obtendrás lo mismo: 1. Vamos a verlo:
Sea f(x) = x + C. Calculamos:
f(x + 1) = x + 1 + C
f(x) = x + C
y restamos:
f(x + 1) - f(x) = x + 1 + C - (x + C) = x + 1 + C - x - C = 1
Ahora vámonos a las multiplicaciones. Lo hacemos como antes, con una función concreta, por ejemplo, g(x) = 2*x, y vamos a calcular valores:
g(1) = 2 * 1 = 2
g(2) = 2 * 2 = 4
g(3) = 2 * 3 = 6
g(4) = 2 * 4 = 8
g(5) = 2 * 5 = 10
g(6) = 2 * 6 = 12
Ahora, veamos las diferencias:
g(2) - g(1) = 4 - 2 = 2
g(3) - g(2) = 6 - 4 = 2
g(4) - g(3) = 8 - 6 = 2
g(5) - g(4) = 10 - 8 = 2
g(6) - g(5) = 12 - 10 = 2
En general, para cualquier x + 1, x:
f(x + 1) = 2*(x + 1) = 2*x + 2
f(x) = 2*x
f(x + 1) - f(x) = 2*x + 2 - 2*x = 2
Parece que no hay diferencia con la suma, pues en el caso de sumar una constante el crecimiento con respecto al valor anterior siempre era 1, y aquí, el valor parece ser siempre dos. Sin embargo, en matemáticas no debemos dejarnos engañar por un caso particular. Por clarificar el asunto, vamos a proceder exactamente igual con h(x) = 5*x, y luego veremos qué pasa con el caso general F(x) = K*x, K una constante cualquiera.
h(1) = 5 * 1 = 5
h(2) = 5 * 2 = 10
h(3) = 5 * 3 = 15
h(4) = 5 * 4 = 20
h(5) = 5 * 5 = 25
h(6) = 5 * 6 = 30
Las diferencias:
h(2) - h(1) = 10 - 5 = 5
h(3) - h(2) = 15 - 10 = 5
h(4) - h(3) = 20 - 15 = 5
h(5) - h(4) = 25 - 20 = 5
h(6) - h(5) = 30 - 25 = 5
En general, para cualquier x + 1, x:
f(x + 1) = 5*(x + 1) = 5*x + 5
f(x) = 5*x
f(x + 1) - f(x) = 5*x + 5 - 5*x = 5
Hm, la cosa ha cambiado un poco: las diferencias ya no son 2, sino 5. Se diría que "el salto" que tenemos que dar de un valor al siguiente viene dado por el factor que multiplica a la x. Cuando era g(x) = 2*x, las diferencias siempre daban 2, y cuando era h(x) = 5*x, las diferencias siempre daban 5. ¿Podemos comprobar que, en el caso general de F(x) = K*x, las diferencias van a ser K? Sí, y para ello procedemos exactamente de la misma forma.
Calculamos f(x + 1) y f(x) para un x arbitrario:
f(x + 1) = K*(x + 1) = K*x + K
f(x) = K*x
f(x + 1) - f(x) = K*x + K - K*x = K
¡Ajá! Para las multiplicaciones, la tasa de crecimiento es constante, pero no es "constante e igual a 1", sino la constante por la que multipliquemos. ¿Podríamos proceder igual con las potencias? Bien, aquí habría que distinguir entre f(x) = x^K y g(x) = K^x, K constante en ambos casos. La primera, f(x), es una función polinómica en su forma más simple (un único término -monomio-). La segunda, g(x), es una función exponencial. ¿La diferencia? Dónde está la variable: en la base, o en el exponente. Ambas crecen deprisa, pero la exponencial crece "mucho más deprisa". (Nota: Escribo x^K porque en los comentarios Blogger no me admite el tag sup para los exponentes. Espero no causar confusiones.)
Advierto a los lectores de que para ver qué sucede con los monomios y con la exponencial voy a tener que hacer uso de notación y propiedades que quizá no hayais visto, o no recordeis, o en su momento no visteis claro, o cualquier otro motivo. Quien lea lo que escribo a continuación, no entienda nada, y tenga curiosidad, puede decirlo. Procuraré explicar más despacio lo que no se haya comprendido.
Vamos a empezar con el monomio x^2. Para estudiar el comportamiento de las diferencias, trataremos con la función f(x) = x^2. Por seguir con el esquema anterior, vamos a calcular unos pocos valores, y luego restamos y tratamos de encontrar una pauta general. Sin embargo, ya voy adelantando que, en este caso, ya resulta más "intuitivo" tratar directamente con la fórmula general. Pero no pasa nada, porque nos vamos a dar cuenta. (También adelanto que puedo haber metido la pezuña en las "cuentas", por lo que se agradecerán las correcciones).
f(1) = 1^2 = 1 * 1 = 1
f(2) = 2^2 = 2 * 2 = 4
f(3) = 3^2 = 3 * 3 = 9
f(4) = 4^2 = 4 * 4 = 16
f(5) = 5^2 = 5 * 5 = 25
f(6) = 6^2 = 6 * 6 = 36
Vamos allá con las diferencias:
f(2) - f(1) = 4 - 1 = 3
f(3) - f(2) = 9 - 4 = 5
f(4) - f(3) = 16 - 9 = 7
f(5) - f(4) = 25 - 16 = 9
f(6) - f(5) = 36 - 25 = 11
Parece bastante claro que ya no nos encontramos con un valor constante en cada diferencia. Aún así, se diría que una diferencia y la siguiente "se van" en 2. Esto, para empezar, ya es una diferencia importante con las diferencias que teníamos para la suma y para la multiplicación. En el caso de la suma, la diferencia era siempre 1, y en la multiplicación era siempre el factor que multiplicaba la x. Aquí, la diferencia va creciendo, sumando un valor que parece ser siempre 2. ¿Podemos asegurar que es 2? Vamos a calcular f(x) para un x + 1 y un x genérico, y restamos:
f(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2*x + 1 (*)
f(x) = x^2
f(x + 1) - f(x) = x^2 + 2*x + 1 - x^2 = 2*x + 1
Vaya, el resultado general nos está diciendo algo bastante más interesante: las diferencias entre x + 1 y x se obtienen multiplicando por 2 la x y sumando 1. Las diferencias no crecen "en horizontal", "siempre lo mismo", sino que crecen "a lo largo" de una recta inclinada. Para pasar de un término al siguiente, nos estamos moviendo por una recta inclinada. Vamos más deprisa que si nos movemos por una recta horizontal. "Ganando altura", vaya.
Podría hacer ahora lo mismo con x^3, pero pienso que, a la vista de los cálculos desarrollados aquí, el lector sabrá cómo calcular las diferencias. Eso sí, adelanto el resultado general de, dada g(x) = x^3, obtener g(x + 1) - g(x):
f(x + 1) = (x + 1)^3 = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 (**)
f(x) = x^3
f(x + 1) - f(x) = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 - x^3 = 3*x^2 + 3*x + 1
Las diferencias ya se han "metido" en algo más "marchoso" que una recta: una parábola. ¿Crece una parábola más deprisa que una recta? Sí. ¿Y cómo lo podemos comprobar? Con límites. Lo siento, exigencias del guión :-)
Cuando queremos saber si un número x es más grande que otro y, dividiéndolos podremos saber quién es el mayor, estudiando si el cociente x/y es menor, mayor, o igual que 1. Por ejemplo, para saber cuál es más grande, si 3 ó 4, vamos a dividirlos:
3/4 = 0.75 < 1
El 3 es más pequeño que el 4. Y sí, el lector pensará que esto que acabo de hacer es una tontería, porque estaba claro que el 3 era más pequeño que el 4. Pero... ¿Y si lo que queremos comparar no son números, sino funciones? Entonces ya tiene más sentido el estudiar el resultado del cociente. Sin embargo, supongamos que queremos saber "quién puede más", si x o x^2 + 1. Planteamos el cociente:
x / (x^2 + 1)
y ya la tenemos liada, porque con esta expresión, así, en bruto, poco podemos hacer. Además, podría resultar que la primera fuera más grande que la segunda en un intervalo, pero a partir de un punto, la segunda fuera, definitivamente, más grande que la primera. Dado que lo que estamos tratando de ver es "cómo crecen", nos interesa "cómo crecen" "a largo plazo", "cuanto más lejos, mejor". ¿Y qué hay más lejos que "en el infinito"? Pero el infinito presenta un problema práctico evidente: ¡no vamos a llegar en la vida! Pues bien, para esos casos de "no vamos a llegar en la vida", tenemos una herramienta muy poderosa: los límites. Y el límite de un cociente, cuando "x tiende a infinito", nos va a decir "quién puede más", si el numerador, el denominador, o ambos son igual de super héroes.
En el caso que nos ocupaba de saber si una parábola concreta, 3*x^2 + 3*x + 1, "podía más" que la recta 2*x + 1, vamos a calcular el límite "en el infinito" (y más allá). Disculpad la notación, pero en estos comentarios no puedo escribir "a la" LaTeX.
lim x-> +inf (3*x^2 + 3*x + 1)/(2*x + 1) = +inf
¿Qué significa esto? Que el numerador "puede más" que el denominador. Que crece más deprisa, en definitiva. ¿Cómo he llegado al resultado? Pues... siguiendo las reglas del cálculo de límites. Sintiéndolo mucho, esto sí que excede el propósito de la entrada y del comentario. Si alguien está interesado en saber de cálculo de límites, podemos mantener unas charlas muy interesantes al respecto, con bibliografía y resolución de ejercicios para "cogerle el aire". (***)
El caso general del monomio x^k se estudiaría de forma similar a lo que hemos visto, pero claro, al tratarse ya de un caso general-general, tendremos que utilizar fórmulas y propiedades que nos permitan trabajar con estos "genéricos". De nuevo, quien tenga curiosidad, ya sabe por dónde ando.
Y así, pasamos al caso que ocupaba esta entrada, la función exponencial. Si el lector ha llegado hasta este punto, entonces no se perderá porque escriba en términos generales. Vamos a tomar f(x) = K^x, para K positivo. Calculemos, directamente, las diferencias:
f(x + 1) = K^(x + 1) = K*K^x [^]
f(x) = K^x
[^] Aplicando la conocida propiedad de las potencias a^(b + c) = a^b*a^c y teniendo en cuenta que K^1 = K
f(x + 1) - f(x) = K*K^x - K^x = (K - 1)*K^x
Vaya, esto es bastante interesante. Las diferencias de una exponencial también tienen crecimiento exponencial. ¿Será este crecimiento exponencial superior al de un polinomio cualquiera y, por tanto, habremos comprobado que la exponencial crece "mucho más deprisa" que cualquier polinomio? (No olvidemos que las rectas, por "lentitas" que crezcan, son polinomios. De grado 1, pero polinomios.)
Pues la respuesta es "sí", porque un resultado de límites nos asegura que:
lim x-> +inf K^x/x^N = +inf
¿Por qué estamos empleando las diferencias? Porque nos muestran "la diferencia", valga la redundancia, entre un valor y el anterior. Si esto lo calculamos de forma genérica, estamos obteniendo la diferencia entre dos valores consecutivos cualesquiera, y esto nos dice, precisamente, cuánto "saltamos" de un valor al siguiente. Hay que aclarar que esto sólo nos sirve en el tramo de las funciones que tiene un comportamiento constante: o siempre crecientes en ese tramo, o siempre decrecientes en dicho tramo. En todo el desarrollo que hemos visto aquí, ha quedado claro que, de todas formas, las diferencias no nos resuelven "toda la incógnita", sino que hemos tenido que pasar a calcular límites para saber "quién puede más". Por decirlo rápidamente: con las diferencias vemos "de qué forma" pasamos de un punto a otro, nos dan una idea del crecimiento de esa función concreta, pero para poder ver cuál de dos funciones dadas crece "más deprisa", hay que calcular límites.
En el caso de las nuevas operaciones que propones, hay que hacer lo mismo: mira qué información se puede extraer de las diferencias, estudia si tu operador define una función continua, derivable... y para el caso de duda final, "¿quién puede más, spiderman o batman?", calcula el límite del cociente. Si se te dispara a "infinito", es que el numerador es más grande que el denominador. Si se te va a cero, es que el denominador "puede más", y si se te va a un valor constante diferente de cero, es que "pueden parecido". Para comparar el crecimiento de una con otra, siempre vas a tener que calcular límites.
(*) Podemos calcular (x + 1)^2 de dos formas: o bien multiplicando directamente, o bien aplicando la fórmula del binomio de Newton (ver también este enlace donde explica cómo obtener la fórmula). Si optamos por la primera opción, (x + 1)^2 = (x + 1)*(x + 1) = x*x + x*1 + 1*x + 1*1 = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2*x + 1. Para poder demostrar algo con un polinomio genérico en el que tengamos cálculos del tipo (K*x^C + T)^N, no nos quedará más remedio que emplear la fórmula del binomio.
(**) Hemos vuelto a aplicar la fórmula del binomio de Newton
(***) Cójase con un poco de precaución lo que he dicho sobre los límites y su utilidad comparando funciones, porque no es lo mismo un desarrollo matemático riguroso que un comentario donde intentas aclarar una duda sin entrar en demasiados tecnicismos. Cuando nos ponemos en plan riguroso hay que estudiar seriamente intervalos, "puntos raros", "comportamientos raros", si nos las estamos viendo con una función sin límite en el infinito pero que se pueda comparar con alguna otra técnica, etc, etc, etc...
Por
Lola, el viernes, enero 11, 2008 11:23:00 AM
Jose, tu idea no es nueva: Knuth's up-arrow notation (wikipedia, en inglés). Tu @ se escribe ^^ en esa notación; tu $ se escribe ^^^, tu ¬ se escribe ^^^^ y así sucesivamente. No hay que olvidar que las expresiones se deben evaluar de derecha a izquierda. Por ejemplo, 2^3^2 no es 8^2 sino 2^9, es decir, primero se calcula la parte de la derecha, que es 3^2 = 9, y luego se calcula 2^(el resultado) = 2^9, que da 512 y no 64.
Si quieres que te explote la cabeza, puedes ver también la notación de Conway: Conway chained arrow notation.
David, yo también he recordado la función de Ackermann; de hecho es mencionada en el artículo de la notación de Conway. Ya escribí un comentario en el área de discusión de la función de Ackermann de la wikipedia inglesa sobre una formulación alternativa que se corresponde más directamente con lo que estamos tratando: Alternative definition.
No deja de ser curioso que 2^^^...^2 = 4 siempre, independientemente del número de ^ (en notación de Conway, 2 -> 2 -> N = 4, para todo N). Los casos particulares 2+2=4, 2*2=4 y 2^2=4 son bien conocidos ;)
Por suerte, los timos piramidales sólo requieren de una ^.
-- Pedro Gimeno
Por
Pedro Gimeno, el viernes, enero 11, 2008 12:53:00 PM
Hola a todos! Y perdonad por haceros escribir tochazos!
Sí, si contamos el número de sumas, la suma es de orden constante, el producto es de orden lineal y la potencia es de orden exponencial, en concreto el número de sumas para a^k, o nsp(a,k), es (a^(k-1))-1. Se demuestra por inducción directamente. El número de sumas de a@k, o nsa(a,k), es a^nsp(a,k)-1. El de $ es a^nsa(a,k)-1 y así sucesivamente.
Al final era verdad, la diferencia entre órdenes de crecimiento crece a su vez exponencialmente... creo.
Por
jose, el viernes, enero 11, 2008 10:22:00 PM
El timo realmente esta en que para que uno sea azul hacen falta 15 personas (1+2+4+8) que a 1.000€ cada una dan a la organizacion 15.000€ en total. Y la organizacion da al azul 8.000€ quedandose con el resto (15.000-8.000=7.000).
Por
Erynus D'Alecto Graeme, el sábado, enero 12, 2008 2:45:00 PM
Erynus, lo comento un poco al final:
"(*) Nota: Por claridad, en esta entrada he obviado unas sumas que sí hice en la ocasión anterior. En realidad, si entraras el primero, no necesitarías a 8 personas, sino a la suma de todos los niveles, es decir, 8 + 4 + 2 = 14 personas. Lo mismo se aplica para el resto."
Me di cuenta de que en la ocasión anterior en la que hablé de estos timos, sumando las cantidades de todos los escalones me quedaba el texto más embrollado, por eso, en esta ocasión, preferí dejar las cantidades de los escalones "sueltas" y luego, al final, recordar que hay que sumar. A mí me salen 14 personas y a ti 15 porque yo no he tomado a uno mismo como alguien a quien uno mismo ha convencido para dar el dinero, sino que a uno mismo le han convencido para entrar.
Lo que sí me faltó por anotar, y tú has comentado, es precisamente lo del dinero: en el momento en que alguien se dé cuenta de que le han timado, ese alguien ha perdido 10.000 euros que, por supuesto, se los queda la organización.
Saludos y gracias por el apunte. Lola.
Por
Lola, el domingo, enero 13, 2008 5:07:00 PM
Lola, en un comentario de un post te has currado una introducción al análisis matemático, me encanta!
Saludos a todos,
David
Por
David, el lunes, enero 14, 2008 6:46:00 PM
Detecto en tu post alguien que echa en falta más matemáticas en su vida... tiemblo pensando en el dia que se me acaben las becas y me tenga que alejar profesionalmente del mundillo :(
Por
Hobbes, el miércoles, enero 16, 2008 11:44:00 PM
Un administrador del blog ha eliminado esta entrada.
Por
PROFESOR COCCA, el domingo, enero 20, 2008 9:25:00 PM
Profesor Cocca:
Si no recuerdo mal, en esta entrada no se habla sobre el precio de los medicamentos. Puedo equivocarme, pero no hay nada como leer el texto y los comentarios para verificarlo. Por tanto, la entrada que ha copiado íntegra, con comentarios y todo, está completamente fuera de lugar respecto al tema tratado y la he considerado como spam de su blog, motivo por el que procedo a eliminarla.
Sólo un conspiranoico acudiría a la libertad de expresión para tacharme de censora por hacer algo así por lo que, aunque no lo merezca, voy a mantener el enlace a su perfil, para el lector que pueda tener curiosidad sobre quién es el spammer.
Lola.
Por
Lola, el domingo, enero 20, 2008 11:15:00 PM
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